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數學教師知識庫--李源順

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數學這樣教:國小數學感教育第三版 -- 詳細目錄 -- 大改版

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leeys 發表於 2018-12-23 13:19:29 | 顯示全部樓層 |閱讀模式

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第1 章 數學感教育的理論 1
第1 節 數學感和營造數學感的定義 2
第2 節 數學感的內容理論 6
壹、數學的發展來自解決生活問題的需求 6
一、許多數學觀念來自生活觀念的理想化與抽象化 6
二、數學觀念的學習有它的啟蒙脈絡 10
貳、在數學內部生成與繁衍 12
一、數學觀念包括概念、運算和性質 12
二、數學觀念時常在進行推廣 14
三、數學觀念來源不同卻會合流 18
四、探討數學觀念之間的關係 19
五、數學觀念應該考慮它的逆觀念 19
六、數學觀念的學習愈來愈精準、多元、抽象 20
參、解決人類碰到的問題,促進人類發展 22
第3 節 數學感的教與學策略 22
壹、一個起動機制 23
貳、五個核心內涵 24
一、舉例 24
二、簡化 25
三、畫圖 26
四、問為什麼 27
五、回想(或者連結、課程統整、後設認知、⋯⋯一樣⋯⋯不一樣) 27
參、一個起動機制、五個核心內涵可以營造學生的數學感 28
肆、一個起動機制、五個核心內涵在生活中也非常有用 30
第4節 多元優選理念 31
壹、情意重於教學 32
貳、教學的變因愈少愈好 32

ii
參、合理推論 33
一、老師真的懂了嗎? 33
二、哪個程度的學生會了? 33
三、溝通良好嗎? 34
肆、為何要溝通 34
伍、教學與解題 35
陸、多元優選 36
一、有許多種教學方法 36
(一)個別實作 36
(二)全班溝通討論 37
(三)小組合作學習 38
(四)講述教學 39
二、教學多元優選 39
三、教學的重要順序 40
(一)情意重於教學 40
(二)先把教學的變數減少到最低,讓教學的常數愈來愈多 40
(三)數學知識→學生認知→教學方法 40
(四) 具體操作→圖形表徵→文字符號vs. 文字符號→圖形表徵→具體操作 41
(五)教學的重點 41
(六)教學的步驟 42
(七)學會連結先前所學 43
(八)特定單元一般化到其他單元的教學 43
(九)備課、觀課、議課 43
第5 節 數學感教育的相關理論 45
壹、NAEP 的架構—數學能力、數學威力 45
一、數學內容 47
二、數學能力 48
(一)概念性了解 48
(二)程序性知識 50
(三)能檢驗所用的程序無誤 51
(四)解題 51
三、數學威力 54
(一)推理 55
(二)連結 55
iii
(三)溝通 56
貳、數學教與學的相關概念 56
一、表徵 56
(一)意義 57
(二)說、讀、聽、寫、做 58
二、診斷教學 58
(一)錯誤概念 59
(二)認知衝突 59
(三)調整教學 59
三、數單元的內容結構 59
(一)情境結構 59
(二)語意結構 60
(三)運算結構 62
參、數學素養 64
一、數學歷程 65
(一)形成數學情境 65
(二)應用數學概念、事實、程序與推理 65
(三)詮釋、應用與評鑑數學結果 65
二、內容領域 66
(一)改變與關係 66
(二)空間與形狀 66
(三)數量 66
(四)不確定性和資料 67
三、脈絡 67
(一)個人 67
(二)職業 67
(三)社會 68
(四)科學 68
四、基本的數學力 68
五、數學素養問題的相關書籍和網站 68
第6 節 本書呼應教育理念與課綱 69
壹、教育哲學 69
貳、呼應現今教育理念 70
參、呼應九年一貫與十二年國教課程綱要 71
iv
第7 節 相關問題 72
壹、知識和能力 72
一、什麼是知識?什麼是能力? 72
二、如何讓學生學到知識和能力? 72
三、歸納與演繹 73
貳、數學感內容理論 74
一、來自生活的需求 74
(一)引起學生學習動機或學習需求 74
(二)留意生活用語和數學用語的異同 75
(三)注意量的教學再形式化到數的概念,必要時再回到量的概念 75
二、在內部生成繁衍 76
(一)留意共同的前提(定義域)是不是相同,前提是不是有誤? 76
(二)數學內容的脈絡—單位與未知數 77
(三)單位(量)轉換是數學教與學的重點之一 77
(四)數學用語、生活用語的精準性問題 79
(五)留意不精準的數學名詞對學生將來學習的影響 79
(六)選擇題、填充題、問答題的差異為何? 80
(七)解題思維與書寫順序的差異 81
三、促進人類的進步 83
(一)數學素養的教學 83
(二)數學素養問題是否能否定前提? 84
(三)數學和自然學科的性質差異 85
(四)數學證明的奧妙 85
參、起動機制與核心內涵 86
一、要溝通什麼? 86
二、多步驟問題只是多個一步驟問題的合成 86
三、晝圖的目的之一是了解學生是否有心像 87
四、問為什麼 87
(一)問「為什麼」與畫圖的不同意義 87
(二)回答為什麼有不同的層次 89
(三)學生讀不懂題意與看到數字就計算 89
五、後設認知的教學 91
(一)有規律、有系統的思考 91
(二)⋯⋯一樣⋯⋯不一樣 92
v
(三)複習舊概念與課程統整 93
肆、多元優選 94
一、學生要能夠接受規約,又有彈性 94
二、老師的意圖非常重要 94
三、時常將五個核心內涵掛在嘴邊 95
四、 教學方法可以分老師講、學生討論、學生自己發現與能主動使用 95
五、評量學生的了解可以分成老師的看法、學生展現的觀點 96
六、老師幫學生搭鷹架的方法不同 97
七、老師應該當作自己不會,再放大、聆聽自己的思維 98
八、多元優選教學就是若p 則q 的實際運用 98
伍、其他教學問題 98
一、教學從嚴,評量(考試)從寬—養成學生良好的習慣 98
二、學生有補習怎麼辦? 99
三、學生學習進展落後很多怎麼辦? 100
四、專有名詞要不要教學生? 101
第2 章 全數(Whole Number) 107
第1 節 全數概念的知識 107
壹、全數概念 107
一、數碼、數字、數詞、數辭 107
二、數與量、單位與單位量 108
(一)概念 108
(二)問題 109
三、唱數(counting words)和計數(counting) 110
四、計數 110
(一)計數的原則 110
(二)計數個物的難易 111
五、基數和序數 112
(一)概念 112
(二)問題 113
六、0 的意義 114
七、正數和倒數(逆概念) 114
八、幾個一數、偶數、奇數 114
(一)概念 114
vi
(二) 問題:0 是不是偶數?-2 是不是偶數?12
是偶數或奇數? 115
九、數量保留(守恒)概念 115
(一)概念 115
(二)問題 116
貳、全數的結構 116
一、十進位概念 116
二、位值概念 117
(一)概念 117
(二)問題 118
三、定位板 119
四、全數的化聚—單位(量)轉換 119
(一)概念 119
(二)問題 120
五、位名的規律 121
(一)概念 121
(二)問題 122
六、多單位系統 123
七、位數 123
八、數的結構 123
九、數的說、讀、聽、寫、做 124
(一)概念 124
(二)問題 125
參、全數的大小比較 126
一、概念 126
二、問題 126
(一)大於的符號怎麼介紹? 126
(二)用先數到和後數到來教數的大小好不好? 127
(三)數的大小比較—數學結構觀點和學生學習觀點 127
(四)多少、大小比較的語意轉換 128
(五)100 元可以買哪些物品? 128
肆、數線 129
一、概念 129
二、問題:為什麼學生在公分尺(數線)上會數錯? 129
伍、形式知識與非形式知識 130
vii
第2 節 全數概念的教學 131
壹、十以內的數 131
一、引起學習動機 131
二、新概念教學 132
(一)唱數 132
(二)計數(量和數的計數) 132
(三)表徵連結 132
(四)倒數 133
(五)心像 133
(六)0 和大小比較 133
(七)數量保留 134
(八)序數 134
三、留意學習落後學生 134
四、課程統整 135
貳、三十以內的數、一百以內的數 135
一、引起學習動機 135
二、新概念教學 135
(一)唱數、計數、表徵 135
(二)位值概念與化聚 136
(三)表徵 136
(四)關鍵概念 137
(五)數量的大小比較 138
(六)心像 138
三、課程統整 138
四、留意學習落後學生 138
參、一千、一萬以內的計數 139
一、引起學習動機 139
二、新概念教學—從大單位開始計數 139
三、課程統整 141
肆、大數 141
第3 節 全數四則運算的知識 142
壹、數的分與合 142
一、概念 142
二、問題:數的分與合的教學目的是什麼? 143
viii
貳、四則運算的概念性知識 143
一、加法概念的概念性知識 144
(一)概念 144
(二)問題 144
二、加法結果的概念性知識 145
(一)全部數 145
(二)往上數 146
(三)從比較大的數往上數 147
(四)十的合成 148
(五)基本加法事實 148
(六)由加法基本事實導出 150
(七)問題 153
三、減法概念的概念性知識 156
四、減法結果的概念性知識 157
(一)數剩下 157
(二)往下數 158
(三)十的分解 158
(四)減法基本事實 159
(五)由減法基本事實導出 160
(六)問題:為什麼63 – 25 有些學生會算成42? 163
五、乘法概念的概念性知識 163
(一)概念 163
(二)1 和0 的乘法—乘法概念推廣 164
(三)問題 165
六、乘法結果的概念性知識 166
(一)乘法累加 166
(二)乘法基本事實 166
(三)由乘法事實導出 167
(四)問題 170
七、除法概念的概念性知識 173
(一)包含除 174
(二)等分除 174
八、除法結果的概念性知識 175
(一)包含除 175
ix
(二)等分除 180
(三)問題 186
九、學生數概念的運思階段 187
(一)序列性合成運思(sequential integration operation) 187
(二)累進性合成運思(progressive integration operation) 187
(三)部分—全體運思(part-whole operation) 188
(四)測量運思(measurement operation) 188
(五)比例運思(ratio operation) 188
(六)問題:學生數概念的運思階段想告訴我們什麼? 189
參、四則運算的程序性知識 189
一、加法的程序性知識 189
二、減法的程序性知識 191
三、乘法的程序性知識 192
四、除法的程序性知識 193
(一)除數為一位數 193
(二)除數為多位數 194
五、問題 196
(一)橫式的左右和直式的上下一定要相等嗎? 196
(二) 直式一定要寫嗎?要求對齊嗎? + 號之後要空格嗎?寫幾個 + 號? 197
(三)應用問題的直式一定要寫嗎?橫式一要寫嗎? 197
肆、四則運算的解題性知識 198
一、情境結構 198
二、語意結構 198
(一)加減法的語意結構 199
(二)問題:為什麼加減法的比較型問題比改變型問題難? 202
(三)乘法的語意結構 202
(四)除法的語意結構 205
(五)問題 206
三、運算結構 207
(一)加減法的運算結構 207
(二)乘除法的運算結構 209
(三)運算結構的目的 210
四、參考資料:學者對加減法語意與運算結構的參考資料 210
(一)Usiskin 的加減法題型 211
x
(二)Riley、Greeno 與Heller 的加減法題型 211
(三)Fuson 的加減法題型 212
(四)Baroody 的10 種減法題型 213
(五)Carpenter、Fennema、Franke、Levi 與Empson 的加減法類型 214
五、參考資料:學者對乘法和除法語意結構的參考資料 215
(一)Vergnaud 的乘除法語意結構 215
(二)Schwartz 的乘除法語意結構 217
(三)Schmidt 與Weiser 的乘除法語意結構 218
(四)Anghileri 與Johnson 的乘除法的語意結構 220
(五)Greer 的乘除法的語意結構 221
(六)Nesher 的乘除法的語意結構 222
(七)Bell、Greer、Grimison 與Mangan 的乘法語意結構 222
六、算式填充題與線段圖 223
(一)算式填充題 223
(二)線段圖 223
(三)問題 224
七、併式 229
(一)兩步驟問題與併式 229
(二)問題 230
第4 節 全數四則運算的教學 233
壹、分與合 234
貳、加法和減法 235
一、概念性知識內化為程序性知識 235
二、解題性知識 236
三、教學注意事項 239
參、乘法 240
肆、除法 242
伍、後設認知 243
陸、問題 243
一、教四則運算的重點是什麼? 243
二、對於未能跟上學習的學生如何進行補救呢? 244
三、為什麼學生會把概念過度一般化? 244
四、為什麼學生對大數文字題的理解有困難? 245
xi
第5 節 全數性質的相關知識 245
壹、單一運算子 245
一、變大、變小 245
(一)概念 245
(二)問題:為什麼學生會認為加變大,減變小?乘變大,除變小? 246
二、位數的四則運算 247
三、交換律 247
(一)學生學習加法交換律有什麼問題? 248
(二)在小學要談減法沒有交換律嗎? 250
(三)8×5 寫成5×8 可不可以?(乘法交換律的問題) 250
(四)各國對乘法算式的規約 251
五、為什麼除法沒有交換律? 256
四、加減互逆和乘除互逆 256
(一)加減互逆和乘除互逆應注意的地方 256
(二) 若a÷b = c,則c×b = a 與若c×b = a,則a÷b = c,有沒有不同? 257
貳、兩個運算子 257
一、相同運算子—結合律 257
二、不同運算子 258
(一)分配律 258
(二)其他性質 258
三、問題 259
(一)a×b + a×c = a×(b + c) 是結合律嗎? 259
(二)結合律與分配律的學習動機是什麼? 259
(三)如何進行結合律和分配律的教學呢? 259
第6 節 全數性質的教學 260
第7 節 107 年課綱分年學習內容—全數 261
第3 章 分數(Fraction) 265
第1 節 分數概念的知識 265
壹、分數 265
一、分數啟蒙概念 265
(一)平分或等分 265
(二)分數的單位量(整體量) 266
(三)部分—全體與分子、分母 266
xii
(四)問題:14
個蛋糕等於 28
個蛋糕?14
等於 28
? 267
二、分數的表示法、單位分量、單位分數 268
三、分數的圖形表徵 268
四、線段的等分 269
五、真分數、假分數、帶分數及其互換 270
六、狹義和廣義的分數(概念推廣) 272
七、學生學習分數基本概念時的迷思 273
(一)忽略單位量 273
(二)受分子或者分母控制 274
八、學生對分數 35
的迷思舉隅 275
(一)文字說明 275
(二)畫圖 277
貳、等值分數 278
一、單位分數的內容物 278
二、等值分數、擴分、約分 278
(一)等值分數 279
(二)約分和擴分 279
(三) 問題:為什麼學生會認為 29
和 79
之間只有4 個分數? 280
三、通分 280
四、最簡分數 280
參、分數的大小比較 281
肆、分數化成(有限)小數 283
伍、分數表示兩數相除的結果(分數概念推廣) 284
一、概念 284
二、問題 285
(一)23 個人坐計程車一定要6 部? 285
(二)整數除法要如何區分答案是要給整數或者分數呢? 285
第2 節 分數概念的教學 286
第3 節 分數四則運算 289
壹、概念性知識 289
一、同分母分數的加減 290
(一)利用等分的份數來解釋合成或分解的結果 290
(二)利用幾個單位分量來解釋合成或分解的結果 290
xiii
(三)利用圖形表徵說明合成或分解的結果 290
二、分數的整數倍 291
三、異分母分數的加減 292
四、分數的分數倍 293
(一)面積表徵和分數基本概念 295
(二)線段表徵 298
(三)文字表徵 299
五、分數除法的運算 299
(一)分數除以整數 300
(二)分數除以分數 305
貳、程序性知識 311
參、解題性知識 312
一、情境結構 312
二、語意結構 312
(一)加(減)法的語意結構 312
(二)乘法的語意結構 312
(三)除法的語意結構 313
三、運算結構 313
四、問題:為什麼學生對分數文字題的理解有困難? 313
肆、參考文獻—當量除 314
第4 節 分數四則運算的教學 315
壹、加法和減法 315
貳、乘法 317
參、除法 317
肆、後設認知 318
第5 節 分數運算的性質 319
壹、單一運算子 319
一、變大、變小 319
(一)概念 319
(二)問題:為什麼學生會誤用乘、除法? 319
二、交換律 320
三、加減互逆和乘除互逆 320
貳、兩個運算子 320
一、相同運算子—結合律 320
xiv
二、不同運算子 320
(一)分配律 320
(二)其他性質 320
第6 節 分數性質的教學 321
第7 節 107 年課綱分年學習內容—分數 322
第4 章 小數(Decimal) 325
第1 節 小數的概念性知識 325
壹、小數和小數點 325
一、概念 325
二、問題 326
(一)學生拿0.23 張的具體物表徵為什麼會拿錯? 326
(二)23.23 為什麼要唸成二十三點二三? 327
(三)一位小數的啟蒙教學 327
貳、純小數、帶小數 328
參、n 位小數 328
肆、單位小數 328
伍、大小比較 329
一、概念 329
二、問題:學生在小數的大小比較有什麼迷思概念? 329
陸、有限小數、循環(無限)小數、不循環(無限)小數 329
一、概念 329
二、問題:0.2 到0.8 之間有幾個小數? 330
柒、分數和小數互換 330
一、概念 330
二、問題 331
(一)小數和分數如何互換? 331
(二)哪些分數可以化成有限小數? 332
(三)連分數(繁分數)—大學數學系才可能學到的概念 332
(四)0.9 的循環小數等於1 嗎? 333
第2 節 小數概念的教學 333
第3 節 小數四則運算 335
壹、小數的概念性知識 335
一、加、減法 335
xv
(一)為什麼學生在小數加減法仍然對齊最右邊? 336
(二)假如小數加法用異分母解釋,異分母還要用擴分解釋,那還得了? 336
二、乘、除法 337
(一)小數乘以整數 337
(二)小數乘以小數 338
(三)小數除以整數 339
(四)小數除以小數 340
(五)4.9÷2.4 = 49÷24 = 2...1 哪裡錯了? 342
貳、小數的程序性知識 344
參、小數的解題性知識 344
一、情境結構 344
二、語意結構 344
(一)加(減)法的語意結構 344
(二)乘法的語意結構 344
(三)除法的語意結構 344
三、運算結構 345
四、問題 345
(一)為什麼學生對小數文字題的理解有困難? 345
(二)為什麼學生會誤用乘、除法? 345
(三)為什麼學生在小數乘法仍然對齊個位? 346
(四)小數乘法最右邊對齊和大數乘法也有類似的地方 346
第4 節 小數四則運算的教學 346
第5 節 小數的性質 348
壹、單一運算元 348
一、變大、變小 348
二、交換律 348
三、加減互逆和乘除互逆 349
貳、兩個運算元 349
一、相同運算元—結合律 349
二、不同運算元 349
(一)分配律 349
(二)其他性質 349
第6 節 小數性質的教學 349
第7 節 107 年課綱分年學習內容—小數 350
xvi
第5 章 數運算的概念推廣 351
第1 節 運算推廣的相關概念 351
壹、概數相關概念 351
一、概數與精確數 351
二、取概數 352
三、估算 353
四、概數的問題 354
(一)七十幾有沒有包括七十? 354
(二)2300 可不可以用無條件進位法取概數到百位? 355
(三)為什麼學生對無條件進位有迷思? 355
(四)哪些數四捨五入到百位是30000? 355
(五)先估再算與先算再估的差別是什麼? 356
(六)取概數的有效位數問題 357
貳、因數和倍數相關概念 358
一、因數、倍數 358
二、公因數和公倍數 358
三、因數與倍數的問題 359
(一)3 是 13
的9 倍,所以3 是 13
的倍數? 359
(二)因數與倍數的教學需不需要具體操作? 359
(三)因數的學習進程為何? 359
(四)倍數的學習進程為何? 360
(五)因數(倍數)判別法 361
(六)最大公因數的學習進程為何? 362
(七)最小公倍數的學習進程為何? 363
(八) 問題:兩個數和三個數的最大公因數和最小公倍數做法相同嗎? 364
參、質數和合數 364
一、質因數、互質 365
二、質因數分解、短除法 365
三、質數與合數的問題 366
※ 短除法可不可以用合數來除呢? 366
肆、比的相關概念 366
一、比率、百分率 367
二、比、比值 367
xvii
三、正比、反比 368
四、比的相關問題 369
(一)棒球比賽的比數2:3 是不是比?可不可以變成4:6? 369
(二)可不可以這樣寫2:3 = 23
? 370
(三)蘋果顆數和售價真的成正比例嗎? 371
(四)比例問題的難易度為何? 371
(五)相等的比可不可以用內項相乘等於外項相乘來算? 371
(六)為什麼學生對比例問題會用加法來做呢? 372
(七)如何對有加法策略的學生進行教學? 372
五、導出量、導出單位 373
六、基準量和比較量 374
七、折、成、百分率的概念 377
第2 節 運算概念推廣的教學 378
壹、概數與估算的教學 378
貳、因數和倍數 379
參、比的教學 379
第3 節 107 年課綱分年學習內容—運算的推廣 380
第6 章 量與測量(Measurement) 383
第1 節 量與測量的概念 383
壹、量的理論 383
一、階段理論 383
(一)初步概念、直觀比較與直接比較 384
(二)間接比較與個別單位比較 384
(三)常用單位的約定 385
(四)常用單位的換算與計算 386
二、量的保留概念 386
三、問題 387
(一)量的教學順序是什麼? 387
(二)如何培養學生的量感 388
(三)說、讀、聽、寫、做可以用在量的學習嗎? 388
(四)學生沒寫單位要不要算對? 389
(五)如何把單位的關係記得更清楚? 389
xviii
(六)概念了解與實作能力 390
貳、七種量 390
一、長度 390
(一)概念 390
(二)問題 391
二、面積 394
三、體積 395
四、重量 396
(一)概念 396
(二)1 公斤秤和3 公斤秤怎麼教? 396
五、容量和容積 397
(一)容量 397
(二)容積 398
(三)體積、容積和容量的問題 399
六、時間 402
(一)時間概念的重要性 402
(二)時間的比較 403
(三)長針、短針、時針、分針 403
(四)24 時制與12 時制 403
(五)時間的生活用語和數學用語 404
(六)問題 405
(七)名稱日和週期日 407
(八)一天、一星期、一個月 408
(九)大月和小月、平年和閏年 408
七、角度 409
(一)角和角度 409
(二)角的名稱 409
(三)角的大小比較 410
(四)問題:為什麼有些學生不會使用量角器量角度? 411
八、量的計數 412
參、外延量、內涵量(導出量) 413
肆、速度、速率 413
一、概念 413
二、問題 414
xix
(一)為什麼學生學不好速度的概念呢? 414
(二)上山和下山的平均速度是不是直接把速度除以2 呢? 415
(三)瞬時速度和平均速度 416
伍、左右、前後的問題 416
一、怎麼教左右? 416
二、大象的左邊到底是什麼動物? 416
三、小貓是不是在大象的左邊? 417
四、前後的問題 417
第2 節 量與測量的教學 418
第3 節 量的計算 419
壹、量的四則運算 419
貳、速度的四則運算 419
參、量的計算問題 420
一、複名數的計算一定要化成單名數嗎? 420
二、複名數的直式計算要寫單位嗎? 420
三、時間和長度的四則運算有什麼特別? 421
四、什麼時候速度可以直接平均? 421
五、作者為什麼會想到上述問題呢? 421
第4 節 量的計算教學 422
第5 節 107 年課綱分年學習內容—量 422
第7 章 幾何(Geometric) 425
第1 節 幾何的相關概念 425
壹、平面幾何 425
一、構成要素:點、線 425
二、角、角度和相關命名 427
三、周界、周長 427
四、水平、鉛直、平行、垂直 427
五、三角形和其命名 429
(一)概念 429
(二)問題:三角形的命名怎麼教? 430
六、四邊形和其命名 433
(一)概念 433
(二)問題 434
xx
七、多邊形 436
八、圓和扇形 437
(一)概念 437
(二)問題:扇形的弧可不可能是另一扇形的弧? 438
貳、立體幾何 439
一、面 439
二、正方體和長方體 440
(一)概念 440
(二)問題 441
三、柱體 443
(一)概念 443
(二)問題 444
四、錐體 445
五、球體 446
六、視圖、透視圖和骨架圖 447
第2 節 幾何的關係與性質 448
壹、平面幾何 448
一、兩條直線的關係及對頂角 448
二、三角形 449
(一)任意一個三角形的邊之關係 450
(二)任意一個三角形的角之關係 451
(三)任意一個三角形的邊和角之關係 453
(四)特定三角形的性質與關係 453
(五)三角形的包含關係 454
三、四邊形 454
(一)任意一個四邊形的角之關係 454
(二)任意一個四邊形的邊之關係 455
(三)特定的四邊形性質與關係 455
(四)四邊形的包含關係 456
四、多邊形 457
五、對稱圖形 457
(一)線對稱圖形 457
(二)點對稱圖形 458
(三)旋轉對稱圖形 459
xxi
(四)問題 459
六、全等、放大、縮小、比例尺 464
(一)概念 464
(二)問題 464
貳、平面圖形的周長與面積 466
一、周長 466
(一)簡單平面圖形的周長 466
(二)圓周長、圓周率 468
(三)扇形周長 469
二、平面圖形的面積 469
(一)正方形和長方形面積 470
(二)平行四邊形面積 472
(三)三角形和梯形面積 474
(四)問題 475
(五)高、畫高 479
(六)圓面積和扇形面積 480
(七)複合圖形的面積 482
參、立體幾何 484
一、平行和垂直 484
二、兩平面的夾角 485
三、長方體、正方體 486
(一)性質 486
(二)問題 486
四、柱體和錐體 488
五、凸多面體 488
六、柱體和錐體的展開圖 489
七、球體 490
肆、立體幾何的總邊長、表面積與體積 490
一、總邊長 490
二、表面積 491
三、體積 492
伍、van Hiele 幾何認知層次 494
一、第0 層次—視覺期(Visualization) 494
二、第一層次—分析期(Analysis) 494
xxii
三、第二層次—非形式演繹期(Informal Deduction) 495
四、第三層次—形式演繹期(Formal Deduction) 495
五、第四層次—嚴密性(rigor)或公理性(axiomatic) 496
六、問題 496
(一)視覺期到分析期要注意什麼事? 496
(二)從分析期到非形式演繹期要注意什麼? 498
(三)國中幾何問題的證明為什麼那麼難? 499
(四)非形式演繹期以上 500
(五)幾何形體的說、讀、聽、寫、做 500
第3 節 幾何的教學 501
壹、平面幾何 501
一、總說 501
二、示例:三角形的性質 502
(一)教學目標 502
(二)設計理念 502
(三)教材分析 502
(四)學生先備知識 502
(五)主要活動 502
三、平行四邊形面積 505
(一)教學目標 505
(二)設計理念 505
(三)教材分析 506
(四)學生先備知識 506
貳、立體幾何 509
第4 節 107 年課綱分年學習內容—幾何 510
第8 章 統計(Statistic) 513
第1 節 統計的概念 513
壹、描述統計和推論統計 513
貳、統計圖與統計表 513
一、統計圖表的名稱 514
二、次數、相對次數、累積次數、累積相對次數 516
參、集中數量 520
一、算術平均數(mean) 520
xxiii
二、中位數(median)或者中數 521
三、眾數(mode) 521
四、百分位數(percentile) 522
五、百分等級(percentile rank,簡稱PR 值) 523
六、四分位數(quartiles) 523
七、性質:資料的平移或放大 524
肆、離散數量 524
一、全距(range, R) 524
二、四分位距(interquartile range, IQR) 524
三、變異數(variance)與標準差(standard deviation) 524
四、性質:資料的平移或放大 526
第2 節 統計的相關問題 526
壹、學生初學資料分類、統計的學習需求 526
貳、統計表可以畫出什麼樣的統計圖? 527
參、統計圖表的說、讀、聽、寫、做是什麼? 528
肆、閃亮之星是幾點到幾點播出? 528
伍、什麼是統計圖表的報讀和解讀? 530
陸、為什麼統計圖會騙人? 530
第3 節 統計概念的教學 531
第4 節 107 年課綱分年學習內容—統計 532
第9 章 關係與代數(Algebric) 535
第1 節 關係與解題 535
壹、數量關係 535
一、和差積商不變 535
二、數形規律 536
三、數量關係的學習 536
貳、怎樣解題 537
一、雞兔同籠問題 537
(一)正向問題與解答 537
(二)逆向問題與解答 538
(三)有數學感的教與學 540
(四)逆概念的再延伸 542
(五)結論 542
xxiv
二、植樹問題 542
三、數形規律問題 543
四、年齡問題 544
第2 節 代數的概念 546
壹、以文字符號代表數 546
貳、變數和未知數 547
參、如何給予學生代數的感覺? 548
第3 節 代數的四則運算 548
壹、代數與數 548
一、概念 548
二、問題 549
(一)為什麼學生會誤解3 45
x 的意思? 549
(二)為什麼學生會認為2 + 3x = 5x? 549
(三)6÷2(1+2)=? 550
貳、代數與代數 550
參、算術思維與代數思維 551
肆、算術思維到代數思維的過渡 552
一、從具體的數字到抽象的代數符號 552
(一)改變解題思維動向,亦即能對「待解的已定數」作運算 553
(二) 解法跳脫題目所給的情境或數字,而聚焦在一般性的解題方法 553
(三)保留運算的程序或結構 553
(四)擴展了運算的客體範疇 553
二、從特殊化到一般化(抽象化、去情境化) 553
三、從程序性到結構性 554
第4 節 代數的性質 554
壹、反身性、對稱性、遞移性 554
貳、結合律、交換律、分配律 555
參、等量公理的相關概念 555
一、等量公理與移項法則 555
二、加減互逆和乘除互逆 555
三、問題 556
(一)x× 23
= x× 46
有沒有符合等量公理? 556
xxv
(二)若x = x,則x× 13
= x×3 是不是運用等量公理? 557
(三)加減(乘除)互逆是對加(減、乘、除)數來運算 557
(四)國小學生沒學過負數 558
第5 節 代數的教學 558
壹、代數的學習動機 558
貳、兩步驟算術式和代數式的差異 559
參、如何從算術思維過渡到代數思維? 559
肆、小學代數的教學範圍到哪裡? 560
第6 節 107 年課綱分年學習內容—代數 561
xxvi
圖表目次
圖1-1 推理和營造感覺的關係圖 4
圖1-2 三種不同認知與後設認知定義示意圖 6
圖1-3 數學觀念的概念性解釋示意圖 13
圖1-4 分數除以分數的概念性解釋示意圖  14
圖1-5 2012 年和2013 年8 月美國太空總署(NASA)所拍的北極圈衛星照片 31
圖1-6 美國NAEP 的數學評量架構圖 46
圖1-7 表徵關係圖 57
圖1-8 在實務中的數學素養模型 64
表2-1 整數說讀聽寫做的活動意義及教師具體問話 124
表2-1 Usiskin 和Bell 的加減法題型 211
表2-2 Riley, Greeno & Heller 的加減法題型 211
表2-3 Fuson 的22 種加減法題型 212
表2-4 Baroody 的15 種加減法題型 213
表2-5 Carpenter 等人的加減法題型 214
表2-6 數量同構型 215
表2-7 多重比例型 216
表2-8 多重比例型一 216
表2-9 多重比例型二 217
表2-10 Greer 依數系情境模式分類表 221
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